Trys smūgiai mokslui į paširdžius

Posted on 2009-08-20


(Parengta pagal P. M. Binder straipsnį Philosophy of Science: Theories of Almost Everything (Nature, 2008))

Mokslo tikslas yra sukurti visaapimančią teoriją, paaiškinančią absoliučiai viską. Ilgą laiką tikėjome mokslo galia tai padaryti, tačiau trys formaliosios logikos smūgiai šį tikslą pavertė daugių daugiausia bemaž visaapimačios teorijos sukūrimu.

Pirmas smūgis: Gödelio neišsamumo teorema (1931)
Neprieštaringa aksiomatine sistema vadinsime sistemą, iš kurios aksiomų negalima išvesti teiginio ir jam priešingo teiginio.
Teorema. Kiekvienoje nepriekaištingoje aksiomatinėje sistemoje egzistuoja toks teiginys, kurio neįmanoma nei įrodyti, nei paneigti.

Komentaras. Tai reiškia, jog kad ir kokiomis aksiomomis būtų grindžiama matematika, vis vien atsiras teoremų, kurių negalėsime nei patvirtinti, nei paneigti.

Antras smūgis: Turingo postulatas (1936)
Neegzistuoja tokia mašina, kuris visais atvejais galėtų nustatyti, ar priklausomai nuo įvestų duomenų programa kada nors baigs darbą, ar užstrigs begaliniame cikle.

Komentaras.
Turingo postulatas galutinai sužlugdo viltį, kad nors ir ne visi matematiniai teiginiai gali būti įrodyti (dėl Gödelio neišsamumo teoremos), galbūt juos būtų galima bent nustatyti esant teisingus ar klaidingus (be įrodymo). Deja, Turingo postulatas neleidžia net patvirtinimų/paneigimų be įrodymo.

Trečias smūgis: Wolperto teorema (2008)
Apibrėžkime mašiną W, kuri atlieka fizikinius matavimus ir skaičiavimus bei išveda stebėjimais paremtas teorijas.
Jokioje sistemoje neegzistuoja tokia mašina W, kuri galėtų aprašyti visą tą sistemą.

Komentaras. Tai reiškia, jog mokslas negali iki galo aprašyti mūsų pasaulio. Pastebėsiu, kad fizikoje šis teiginys neišplaukia iš Heisenbergo neapibrėžtumo principo (negalime tuo pat metu tiksliai žinoti dalelės padėties ir impulso), mat nors ir negalime žinoti šių dviejų dydžių, vis viena tiksliai galime aprašyti bangos funkciją, o to pakanka sakyti, kad galime viską numatyti.
Antras įdomus aspektas yra dėl stygų teorijos teiginių, jog ji ir yra visaapimanti Visatos teorija, nes tėra aprašoma vienu dydžiu (stygos ilgiu) – fundamentaliau nebūna. Wolperto teorema rodo, jog būtinai rasis kažkas tokio, ką stygų teorijai paaiškinti prisireiks begalybės parametrų.

Kaip įrodomos tokios teoremos? Visais trimis atvejais buvo naudotasi Kantoro diagonalizacijos metodu. Pirmą kartą metodas aprašytas Georgo Kantoro įrodyme, kad egzistuoja neskaičių begalinių aibių. Pavyzdžiui, aibė {13, -2, 0} yra baigtinė ir skaiti, nes jos visus elementus galima sunumeruoti (nuo vieno iki trijų). Natūraliųjų skaičių aibė {1, 2, 3, …} yra begalinė, bet irgi skaiti, nes visūs jos elementus irgi galima sunumeruoti (nuo vieno iki begalybės). Bet ar gali būti tokių aibių, kurios yra begalinės ir neskaičios, t. y., negalima jų elementų sunumeruoti? Imkime aibę [0, 1). Bandykime sunumeruoti visus jos elementus šitaip:
a1 = 0,d11d12d13… (čia jei a1 = 0,31415…, tai d11 = 3, d12 = 1, d13 = 4 ir taip toliau)
a2 = 0,d21d22d23
a3 = 0,d31d32d33

Tarkime, kad šituo būdu sėkmingai sunumeravome visus aibės [0, 1) elementus. Tačiau visada atsiras nors vienas toks elementas ax, kurio dx1 != d11, (!= reškia nelygu), dx2 != d22, dx3 != d33 ir taip toliau. Vadinasi, šis elementas ax skiriasi nuo kiekvieno iš jau išvardintų elementų nors vienu skaitmeniu ir todėl jo mūsų sąraše nėra. Tuo būdu, visų vienetinio intervalo elementų sunumeruoti negalime, tad ši aibė yra neskaiti.

Šį metodą tada galime taikyti logikos įrodymuose, numeruodami teiginius ir parodydami, kad visada rasis teiginys, kuriuo mes dar nesunumeravome.

Reklama
Posted in: .mp, mokslas